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逆格子の長さはなぜ逆数か?

初抹茶<本日の写真>大分前になりますが・・・初詣のときに、実に久しぶりにお抹茶を頂きました♪おいしかったー V(○⌒∇⌒○) ルンルン



まだまだ逆格子の説明を卒論生にしようと努力している管理人です。
光の気持ちになるって言うのは、これなかなか難しいんですよね。
そもそも皆様に降り注いでいる光と皆様とでは、時間の進み方は違いますし。

ま、そういう面白いお話は、電磁気学やら相対性理論やらにお任せするとして。

問題は、逆格子の定義ですよ、定義。
これをいかにわかってもらえるように教えるか。

まず、逆格子の一辺の長さってのは、格子の一辺の長さの逆数になります。
たとえば皆様が生きているこの空間の中で10 cmだったら、逆格子だと0.1 cm^(-1)。
50 cmだったら、0.02 cm^(-1)。
つまり、皆様が「長い」と感じる空間は、光にとっては「短い」空間になるわけです。

なぜか?

それはですね、光のお話をするときには、運動量を考えるのが便利だからなのです。


ちょっと面白い話に戻りましょっか。
たとえば皆様が生きている空間だと、運動エネルギーは、運動量を速度で積分したものになります。
運動量は(質量m)×(速度v)でmvって書かれます。
これをvで積分するから、(1/2)m(v^2)になります。

が、光だとそうはならない。
よく知られているアインシュタインの式、
E=m(c^2)、つまりm(v^2)
になる。

何でそうなるかといいますと、この世の中ってな、すごーく早く動くと質量が重くなる世界だからなんですね。

や、まじで。
皆さん、そういう世界に生きてますから。
SFじゃなくて、リアルですから。


てことは、ですね。
光の話をするときにエネルギー保存則とかで話をすると、実世界と光世界でわけが分からなくなるってことなんです。

皆さんの世界と、光の世界で、共通する法則。
それが運動量保存則、なのです。


で、この光の運動量。
それは(プランク定数っていう一定の数h)÷(波長λ)となっています。
なので、逆格子空間の一辺の長さは、格子の一辺の逆数として考えるんですね。



・・・なんて難しい話をするより。



光にとっては、
波長が長いほうがエネルギーが小さくて、
短いほうがエネルギーが大きいからだよ

って言ったほうが分かってもらえる気もするなー
(* ̄- ̄)y─┛~~



簡単に教えるのって、難しいです・・・なんだか「イッちゃってる」ブログが増えましたね(@@)(40%の確率で自然科学部門へ飛びますー↓)
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sachi * 研究:自己組織 * comments(24) * trackbacks(0)

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コメント

初めてコメントします。

>10 cmだったら、逆格子だと0.1 cm

0.1mだったら,逆格子だと10mになるのでしょうか?
尺によって捉える大きさがひっくり返るなんて面白いなあ。

すみません。
いつも黙って楽しく拝見しておりました。
こういう話は好きなものでつい。
素人なコメントでごめんなさい。

あ,波長が短い方がエネルギーが大きいというのは
「ビぃーーーームっ」て感じでイメージしやすいです。
太鼓をゆっくり叩くのと速く叩くのとでは
自ずと仕事量(エネルギー?)が違いますものね。
あれ?違います?ごめんなさぁい。
Comment by ひろお
逆格子の説明はしたことはありませんが、波長の長短でエネルギー量が違うのは、短い方が単位時間あたりのアタック回数が増えるから、と説明しています。(学生さん相手ではないですけど。)
なので、そこをもとに逆算していくと逆格子の概念がわかりやすいとか…ってことはないっすか〜?
Comment by のの
数学的にはフーリエ変換だと悪魔のささやきをしてみる。
Comment by JosephYoiko
太陽光線では日に焼けるが、ストーブからの光線では皮膚が焼けないなどと小学生に教えたことがあります。
Comment by ゴロー
初めてのコメントが重箱の隅で申し訳ないです。

> この空間の中で10 cmだったら、逆格子だと0.1 cm。

これ、『逆格子だと0.1 cm^{-1}』ではないですか?
些細ですが、明確な違いです。

注:『^{-1} 』は -1が上付であることを表しています。
『cm^{-1}』は『センチメートルのマイナス一乗』
Comment by WiOp
結晶ことはあまり詳しくないのですが、回折のデータが実空間上の格子のフーリエ変換に対応するので(JosephYoikoさんのコメントにありますね)、これを逆格子と呼んでるんじゃないんですか。
確かに波長が短ければ運動量は大きいんですが、運動量自体と逆格子は関係ないような・・・(違ってたらご指摘下さい)。

あとWiOpもご指摘のように、逆空間上の話なので、「長さ」というのは適切ではないかと。
Comment by なにがし
ずばり逆格子の次元は運動量です。WiOpさんが指摘されているように cm^-1なので。
Comment by ママさん研究者
学生さんには、音とのアナロジーが分かり易いんじゃ?
「長さ」でひとくくりにするから、混乱するんですよね。「値の大きさ」としておいて、それが表現する質が別物だと思ったらどうでしょうか?

例えば、高い音(周波数の値が大きい音)は波長が短い(値が小さい)わけです。

進行方向を意識して3次元的に表現すると「空間」になる。

そんな感じで、波長に対応する空間が実空間、周波数に対応するのが逆空間ですね。
Comment by Makkurikuri
えーっと、波の式 sin(kx-wt)を思い出してみると

実空間 <--> 逆空間
長さx <--> 波数(=運動量)k
時間t <--> 周波数(=エネルギー)w

だと思いますが。
Comment by ママさん研究者
>ママさん研究者様
逆格子の次元は波数では?
まあ比例関係にあるので、波数をエネルギーの単位として扱うこともありますが(赤外とかラマンスペクトルの表示など)。
Comment by なにがし
この資料の説明が一番わかりやすかったです。

逆格子:回折線の方向を求めるための仮想的な
結晶格子

http://www.ocw.titech.ac.jp/index.php?module=General&action=DownLoad&file=2008-95010-20080512-7-8.pdf
Comment by nenpiro
「この世の中ってな、すごーく早く動くと質量が重くなる世界だからなんですね。」……これはどうしてこうなるのですか?聞いたことはあるけれど、ずっとどうしてだろうって思ってました。
Comment by どこにいるの?
「逆格子の次元が運動量に一致」は言い過ぎだったかもしれないです。

運動量=k・h/2pai
エネルギー=w・h/2pai

なのでプランク定数h[J・s]分だけ違います。が、「逆格子は運動量空間」です。X線回折などでは、「原点から逆格子点までのベクトル」が「X線の回折前後の運動量変化」と一致します。
Comment by ママさん研究者
逆格子は「波数」空間上の格子ではないでしょうか。
Comment by よこから
>逆格子は「波数」空間上の格子ではないでしょうか。

そうです。それに「プランク定数h」を掛けるだけで「運動量」という物理的意味を持つことになります。
Comment by ママさん研究者
★ひろお様、
★WiOp 様、
★ママさん研究者様、
★Makkurikuri様、

しまったーっ!
単位はcm^(-1)にすべきでしたっ!
申し訳ないですっ!!
(ブリリアンゾーンを書かせるときに、「ブリリアンゾーンの長さはね・・・」って言ってたら混乱しました orz)
Comment by sachi
★のの様、
★ゴロー様、

エネルギーと波長の関係を教えるのもなかなか難しいですよね★


★JosephYoiko様、

あぁそうやって、美しい数学の世界へいざなおうとされているのですね
(^^;;


★なにがし様、
★よこから様、
★ママさん研究者様、

「なぜ波数空間で話をしなくてはいけないか?」に答えるために「運動量で話さないと分からなくなるからだよん」って答えたいのです・・・が・・・
どぉなんでしょう。エネルギーのほうが分かりやすいかなぁ。
個人的には、自分で書いた上のストーリーのほうが、夢があって好きなんですが(おい)
Comment by sachi
★nenpiro様、

おおおおっ。
XRDの講義スライドですね(@@)
なるほど・・・こうやって公開されてらっしゃると世のため人のためになりますね・・・
(□。□-) フムフム


★どこにいるの?様、

どうしてそうなるのか、はまだ分かっていない(はず)でございます。
そうなっているんだ、っていうことをアインシュタイン博士が言い出し、多くの実験屋がそれを実証し、今「どうしてそうなるのか」=「場の理論」が構築されようとしているところでございます
m(._.*)mペコッ
Comment by sachi
面白そうだ。理論物理学者というのは人騒がせだね。でも、どうしてアインシュタイン以前の物理学者は、そうした指摘ができなかったのだろう。積み重ねがなかったのかな。能力不足?それとも、自分の仕事ではなかったからかな。
Comment by どこにいるの?
乗りかけた船と言いますか,もう少しコメントすると,

> これをvで積分するから、(1/2)m(v^2)になります。

> E=m(c^2)、つまりm(v^2)

私の理解では,『(1/2)m(v^2)』と『m(c^2)』では意味が違います。

『(1/2)m(v^2)』は,運動エネルギー,すなわち,ある物体が運動しているときのエネルギーを静止しているときと比較して増えている分です。

『E=m(c^2)』は,これにも解釈が二つあって,(i) 物体が静止しているときの式とすると,質量のエネルギー。物体が運動しているときは,
E=m(c^2)/(sqrt(1-(v/c)^2)) ---(a)
となります。(ii) ここで,(a)のmを静止質量としてm_0と記し,m=m_0/(sqrt(1-(v/c)^2))を改めて質量と定義する流儀もあります。この流儀だと『E=m(c^2)』は運動している物体(静止していてもいいけど)の全エネルギーということになります。sachiさんはこの流儀で,『すごーく早く動くと質量が重くなる世界』とおっしゃっているのだと思いますが,主流ではないと思います。

いずれにせよ,『m(c^2)』は,単なる運動エネルギーではありません。そのため,『(1/2)m(v^2)』とは比較できません。

さらに言うと,光はm=0なので,エネルギーを『E=m(c^2)』で表すことはできません。

上記,断定調ですが,あくまで私の理解です。
Comment by WiOp
★どこにいるの?様、

やー・・・
そこはアインシュタインがすごかった、んだと私は思っています
(^^;;


★WiOp様、

お教えいただきありがとうございます。
というかっ・・・

「すごーく早く動くと質量が重くなる世界』とおっしゃっているのだと思いますが,主流ではない」
のですか?(@@)
どの文献だったか忘れましたが、天体観測分野において早く動いている星だか星屑だかの質量を計測して、上記事項が証明されたとかいうのを拝見したことがあるのですか・・・(@@;;)??
Comment by sachi
★WiOp様、

すみません、最後タイプミスですっ。
「ですか」ではなく「ですが」です
*o_ _)oバタッ
Comment by sachi
天体観測の話は全く知りません。すみません。

「すごーく早く動くと質量が重くなる世界』とおっしゃっているのだと思いますが,主流ではない」というのは解釈の問題です。運動することによってエネルギーが増えるのを,質量が増えたと解釈するか,単にエネルギーが増えた(質量は変わっていない)と解釈するか。(再注:あくまで私の理解です)

今手元にないですが『間違いだらけの物理概念』という本にその辺の話が書いてあったはず,と思って検索したら,Amazonの読者レビューに書いてありました。
http://www.amazon.co.jp/%E9%96%93%E9%81%95%E3%81%84%E3%81%A0%E3%82%89%E3%81%91%E3%81%AE%E7%89%A9%E7%90%86%E6%A6%82%E5%BF%B5-%E3%83%91%E3%83%AA%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%96%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9-%E3%83%91%E3%83%AA%E3%83%86%E3%82%A3%E7%B7%A8%E9%9B%86%E5%A7%94%E5%93%A1%E4%BC%9A/dp/4621049348
Comment by WiOp
★WiOp様、

なんと!
的確なご本の紹介、ありがとうございます。
時間が取れるときに、このあたりのことをもう少し勉強したいと思います
m(._.*)mペコッ
Comment by sachi
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